Архивы

Նախագիծ՝ Պյութագորաս

Պյութագորասն անտիկ մաթեմատիկոս և փիլիսոփա է, առավելապես հայտնի է իր անունով կոչված Պյութագորասի թեորեմով։

Հայտնի լինելով որպես «Թվերի հայր»՝ Պյութագորասը ազդեցիկ հետք է թողել մ.թ.ա. 6-րդ դարի փիլիսոփայական և կրոնական ուսմունքներում։ Քանի որ լեգենդներն ու այլ նմանատիպ պատմությունները մշուշում են նրա կատարած աշխատանքը նույնիսկ ավելի շատ, քան այլ մինչսոկրատեսյան փիլիսոփաներինը՝ անհնար է հավաստիորեն խոսել Պյութագորասի կյանքի և ուսման մասին։ Պյութագորասը և նրա աշակերտները հավատում էին, որ ամեն ինչ կապված է մաթեմատիկայի հետ, և կարծում էին որ ամեն ինչ կարող է կանխագուշակվել և չափվել ցիկլերի օգնությամբ։

Պյութագորասը ծնվել է Սամոս կղզում, Փոքր Ասիայի ափի մոտ, Պիթայիսի և Մնեսարքոսի որդին էր։ Երիտասարդ տարիքում, Պոլիկրատեսի դաժան կառավարությունից փախչելու նպատակով լքել է հարազատ քաղաքը, մեկնելով Հարավային Իտալիայում գտնվող Կրոտոն քաղաք։ Շատ հեղինակներ նաև ճանաչում են նրա հանդիպումները Հին Եգիպտոսի և Բաբելոնի փիլիսոփաների հետ մինչև արևմուտք շարժվելը՝ այս ճանապարհորդությունները նշված են հույն փիլիսոփաների կողմից գրված Պյութագորասի շատ կենսագրականներում։

Սամոսից դեպի Կրոտոն տեղաշարժի ընթացքում Պյութագորասը ստեղծում է գաղտնի կրոնական ընկերություն։

Պյութագորասը ձեռնամուխ է լինում Կրոտոնի մշակութային կյանքի բարեփոխմանը, հորդորելով քաղաքացիներին կրթվել և իր շուրջը ստեղծելով հետևորդների բարձրակարգ օղակ։ Այս մշակութային կենտրոնը առաջնորդվում է շատ խիստ օրենքներով։ Նրա դպրոցը բաց է լինում հավասարապես տղամարդկանց և կանանց համար։ Նրանք, ովքեր միանում են Պյութագորասի ներքին շրջանին, կոչում են իրենց մաթեմատիկոսներ։ Նրանք ապրում են դպրոցում, հրաժարվում են իրենց սեփականությունից և սնվում են միայն բանջարեղենային կերակրով։ Հարևան տարածքներում բնակվող ուսանողներին նույնպես թույլատրվում էր այցելել Պյութագորասի դպրոց։ Կոչվելով ակուսմատիկոսներ, այս աշակերտներին թույլատրվում էր օգտագործել միս և ունենալ սեփականություն։

Ըստ Յամբլիխոսի, պյութագորացիները վարում էին կրոնական դասերից, սովորական կերակրից, վարժություններից, ընթերցանությունից և փիլիսոփայական հետազոտություններից կազմված կազմակերպված կյանք։ Երաժշտությունը համարվում էր այս կյանքի տարրական կազմակերպչական գործոնը՝ աշակերտները կանոնավոր կերպով միասին երգում էին Ապոլլոնին նվիրված օրհներգեր, հոգու և մարմնի հիվանդությունները բուժելու նպատակով օգտագործում էին քնարը և քնից առաջ ու հետո հիշողությունը վարժեցնելու նպատակով բանաստեղծություններ էին ասում։

Պյութագորասի թեորեմը, որը կրում է իր անունը, հայտնի էր ավելի վաղ Միջագետքում, Հին Եգիպտոսում և Հնդկաստանում։ Արդյոք Պյութագորասը ինքն է ապացուցել այդ թեորեմը, հայտնի չէ, քանի որ անտիկ աշխարհում ընդունված էր նշել ուսուցչի անունը իր աշակերտների կատարած հայտնագործությունների համար։ Թեորեմի հետ Պյութագորասի անվան կապը ամենավաղը հայտնվել է իր մահվանից 5 դար անց, Կիկերոնի և Պլուտարքոսի աշխատություններում։

Реклама

Մաթեմատիկական սոփեստություններ

Ես նայեցի այս երեք տեսանյութերը և շատ սոփեստությունների ծանոթացա: Հասկացա նաև թե ինչ է սոփեստությունը: Հասկացա որ սոփեստությունը դա մաթեմատիկական ինչ որ գործողություն, խնդիր, առաջադրանք կամ ինչ-որ այլ բան է, որի պատասխանը հավասար չէ խնդրին, բայց լուծումն այնպես է կազմված, որը ճիշտ է և ապացուցում է այդ սխալ պատասխանի ճիշտ լինելը, բայց ընդհամենը մի փոքր ուշադրություն է պետք հասկանալու համար, որ այդտեղ մի քայլ սխալ է արված: Այս ամենը իսկապես շատ հետաքրքիր է, խորուրդ կտամ դիտել տեսանյութերը:

Ինքնաստուգում

  1. Լուծե՛ք անհավասարումը..
    ա) (4X+3) / 2 ≥ 2 — (2X-1)/3
    (12x+9)/6 ≥ (12-4x-2)/6
    12x+9≥12-4x-2
    12x+9≥10-4x
    16x≥1
    x≥1/16

    բ)√( -4x+5)=√(-x+1)
    -4x+5=-x+1
    √(-4x+5)≥0
    √(-x+1)≥0
    -3x=-4
    3x=4
    x=4/3
    √(-1/3)≥0
    x պատկանում է (դատարկ բազմություն)
     

  2. Լուծել անհավասարումների համակարգը և համախումբը.

    ա) x>-1
    x≤-1
    x=դատարկ բազմություն
    բ) x≤-2/5
    x>2
    x=0
    x պատկանում է (-անվերջությունից;-2/5] ∪ (0) ∪ [2;+անվերջություն)

     


  3. Գտնել հետևյալ թվերի թվաբանական քառակուսի արմատը.
    0.49=0.7
    √0.0064=0.08
    √810000=900
    √625=25
    √1/729=1/27
     

  4. Գտեք թվային արտահայտության արժեքը.
    ա) √(40*55*22)=220
    բ) √121*√640=11√640
    գ) (7-√3)*(√3+7)=46 

  5. Լուծեք անհավասարումը.

    ikrvfdssxzyh

     

Ստուգողական աշխատանք

  1. Ինչպիսի՞ եռանկյանն է վերաբերվում Պյութագորասի թեորեմը:

Ուղղանկյուն եռանկյանը:

  1. Սահմանել Պյութագորասի թեորեմն ու գրել բանաձևը՝ քառակուսիներով:

a^2+b^2=c^2

Ուղղանկյուն եռանկյան էջերի քառակուսիների գումարը հավասար է ներքնաձիգի քառակուսուն:

  1. Գտնել.
    ա) ներքնաձիգը, եթե էջերն են 12 սմ և 16 սմ,
    c^2=12^2+16^2=144+256=400=20^2

    c=20
    բ) էջը, եթե մյուս կողմերն են 12 սմ և 13 սմ:

    a^2+b^2=c^2

    12^2+b^2=13^2

    144+b^2=169

    b^2=169-144

    b^2=25

    b=5

  2. Եռանկյան կողմերը 7 մ, 24 մ և 26 մ են: Արդյո՞ք եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն է:

7^2+24^2≠26^2

49+576≠676

Եռանկյունն ուղղանկյուն եռանկյուն չէ

  1. Հավասարասրուն սեղանի մեծ հիմքը 30 սմ է: Որոշիր սեղանի պարագիծը, եթե նրա փոքր հիմքը հավասար է բարձրությանը եւ հավասար է՝ 12 սմ:

  1. Սահմանել ուղղանկյուն եռանկյան սինուսը, կոսինուսը և տանգենսը:

Սինուսը ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան դիմացի էջը հարաբերած ներքնաձիգ:

Կոսինուսը ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան կից էջը հարաբերած ներքնաձիգն է:

Տանգենսը ուղղանկյուն եռանկյան դիմացի էջը հարաբերած կից էջին:

  1. Գրել հիմնական եռանկյունաչափական առնչությունները:

  1. tg<A=sin<A/cos<A

  2. ctg<A=cos<A/sin<A

  3. sin^2<A+cos^2<A=1

  1. Լրացրու այս եռանկյան մասին հետեւյալ նախադասությունները.

  1. 180

  2. բարձրությունն, ուղղանկյուն

  3. 90

  4. PF

  5. BF

  6. BF/BN

  1. Ուղղանկյուն եռանկյան կողմերն են CA=25 սմ, CB=60 սմ, AB=65 սմ: Գտնել tg<A և S∆ABC:

65412.png

  1. Հաշվիր քառակուսու կողմն ու մակերեսը, եթե նրա անկյունագիծը 10√2 սմ է:

Քառակուսու մակերեսը հավասար է անկյունագծի քառակուսու կեսին <=>

<=> S=(10√2)^2=200

S=200

կողմը հավասար է √200

Լեոնարդ Էյլեր

Եթե Գաուսն արքայազն է, ապա Էյլերը արքան է: Նա ապրել է 1707-1783 թթ.: Նրան համարում են աշխարհի ամենակարկառուն մաթեմատիկոսը: Նա աննախադեպ տաղանդ ուներ իր ապրած ժամանակաշրջանի համար և կարող էր համեմատվել անգամ Էյնշտեյնի հետ: Նրա ամենաէական ներդրումը մաթեմատիկական նշանակությունների համակարգի (նոտացիա) ստեղծումն էր: Այս գյուտը չի կորցրել իր արդիականությունն ու կարևորությունը ժամանակակից մաթեմատիկայում: Նա նաև ապացուցել է բազում թեորեմներ: Արդյունաբերական և տեխնոլոգիական առաջընթացի համար մենք շատ բանով պարտական ենք նրա հայտնագործություններին:

Վաղ տարիներ

Լեոնարդ Էյլերը ծնվել է 1707 թվականի ապրիլի 15-ին, Շվեյցարիայի Բազել քաղաքում: Էյլերը ունեցել է երկու քույր` Աննա Մարիան, Մարիա Մագդալենան և կրտսեր եղբայր` Յոհան Հենրիխը: Լեոնարդի ծնունդից անմիջապես հետո, Էյլերսը Բազելից տեղափոխվել է Ռիեն քաղաք, որտեղ էլ անց է կացրել իր մանկության մեծ մասը:
Էյլերն իր հիմնական կրթությունը ստացել է Բազելում, որտեղ նա ապրում էր իր մորական տատիկի հետ: 1720 թվականին, տասներեք տարեկանում, նա հնարավորություն է ունեցել Բազել համալսարանում մասնակցել դասերի, իսկ 1723 թվականին ստացել է փիլիսոփայության մագիստրոսի կոչում, իր դիսերտացիայում Էյլերը համեմատում է Դեկարտի և Նյուտոնին փիլիսոփայության ոլորտում: Այդ ընթացքում Էյլերը յուրաքանչյուր կիրակի ստանում էր  առաջադրանքներ Յոհան Բերնոլլիից, ով արագ բացահայտում էր իր նոր աշակերտի անհավատալի տաղանդը մաթեմատիկայում: Այդ ժամանակ Էյլերը հիմնականում ուսումնասիրում էր աստվածաբանություն, հունարեն և եբրայերենը: Էյլերի հայրը ցանկանում էր, որ իր որդին դառնա քահանա, սակայն Բերնոլին նրան համոզում էր, որ Էյլերը պետք է դառնա մեծ մաթեմատիկոս: 1726 թվականինին Էյլերը ավարտում է իր հերթական դիսերտացիան: Այդ ժամանակաշրջանում նա անհաջող փորձեր է անում Բազելի համալսարանում: 1727 թվականին Էյլերի խնդիրը առաջին անգամ մտավ Փարիզի ակադեմիա, որպես մրցանակային խնդիր: Էյլերը գրավեց երկրորդ հորիզոնականը: Ավելի ուշ զբաղեցրեց առաջին հորիզոնականը տասներկու անգամ:

Մահ

1766 թվականին Էյլերն ընդունում է Սանկտ Պետերբուրգի ակադեմիայի հրավերը: Նրա աշխատավարձը կազմում էր 3000 ռուբլի (տարեկան), նրա կինը ստանում էր կենսաթոշակ, իսկ իր որդիներին խոստացվում էր բարձր պաշտոններ: Նա իր կյանքի մնացած մասը անց է կացնում Ռուսաստանում: Այնուամենայնիվ, այդ փաստը նրա համար ողբերգություն էր: 1771 թվականին Էյլերը վաճառում է իր տունը: 1773 թվականին 40 տարվա ամուսնությունից հետո Էյլերը կորցնում էր իր կնոջը:
Նրա կնոջ մահվանից երեք տարի անց Էյլերը ամուսնանում է Սալոմ Աբիգեյլ Ջսելի հետ (1723-1794 թվականներ), ով իր կնոջ քույրն էր: Այս ամուսնությունը տևում է մինչև Էյլերի մահը: 1782 թվականին Էյլերը ընտրվում է Ամերիկայի արվեստի և գիտությունների ակադեմիայի պատվավոր անդամ:
1783 թվականի սեպտեմբերի 18-ին Սանկտ Պետերբուրգում իր ընտանիքի հետ ճաշելուց հետո Էյլերը, երբ Էյլերը քննարկում էր իր հայտնաբերված նոր մոլորակի մասին փաստերը, սկսեց ուղեղի արյունահոսությունը: Նա մի քանի ժամ անց մահացավ:
Էյլերը թաղված է իր կնոջ`Կատարինայի կողքին, Գոլոդեյ կղզում:

Ներդրում մաթեմատիկայում

Էյլերը աշխատել է մաթեմատիկայի գրեթե բոլոր բնագավառներում, ինչպիսիք են երկրաչափությունը, բարձրագույն մաթեմատիկան, եռանկյունաչափությունը, հանրահաշիվը և թվերի տեսությունը, ինչպես նաև շարունակել է զբաղվել ֆիզիկայով, լուսնային տեսությամբ և այլ բնագավառներով: Նա մաթեմատիկայի պատմության մեջ կարևոր անձ է:
Էյլերը միակ մաթեմատիկոսն է, ում անունով կոչվել են միանգամից երկու թիվ: Առաջինը` Էյլերի թիվը, որը մոտավորապես հավասար է 2.71828 և երկրորդը`Էյլեր-Մասերոնի հաստատունը`γ (գամման), որը մոտավորապես հավասար է 0.57721: Դեռևս չի պարզվել, արդյոք Էյլեր-Մասերոնիի հաստատունը ռացիոնալ է, թե իռացիոնալ:
Մաթեմատիկական նշանագրություն
Էյլերը ներկայացրեց ֆունկցիայի նշանի գրելաձևը` f (x): Նա նաև ներկայացրեց եռանկյունաչափական գործառույթների համար ժամանակակից նշանը, ընդհանուր գումարի նշանը` Σ և i  (այ) տառը` նշելով այն, որպես երևակայական միավոր, որ հավասար է √−1: Էյլերը օգտագործեց հունարեն {\displaystyle \pi ~} տառը` նշելու համար շրջանագծի երկարության հարաբերությունը տրամագծին:

Համաչափությունների աշխարհում

Մենք երկրաչափության դասընթացից սովորեցինք համաչափության առանցքներ դասընթացը: Դա մեզ շատ դուր եկավ և ընկեր Ելենայի խորհուրդով խումբ հավաքեցինք և կատարեցինք նախագծային աշխատանք: Այսպիսով մեր բակում փնտրեցինք պատկերներ, որոնք ունեն համաչափության առանցքներ և  գծեցինք դրանք: Ահա և նախագծի արդյունքները:

  1. Զուգահեռագծի պարագիծը 48 սմ է: Գտեք զուգահեռագծի կողմերը, եթե


ա) կողմերից մեկը մյուսից մեծ է 3 սմ-ով,

2x+2x+6=48

4x=42

x=10.5

10.5+3=13.5

Պատ.՝10.5,13.5

բ) կողմերից մեկը երկու անգամ մեծ է մյուսից:

4x+2x=48

6x=48

x=8

8*2=16

Պատ.՝8,16

2.Զուգահեռագծի անկյուններից մեկը 400, գտեք մյուս անկյունները:

<C=400=><A=1800-400=1400

<C=400=> <B=400

<A=1400=><D=1400

Պատ.՝<A=1400,<B=400,<D=1400

3.Զուգահեռագծի անկյունագիծ երկու կից կողմերի հետ կազմում է համապատասխանաբար 25և 35անկյուններ:Գտեք զուգեռագծի անկյունները:


<C=<ACB+<BCD=250+350=600

<C=600=><B=600

<C=600=><A=1800-600=1200

<A=1200=><D=1200

Պատ.՝<A=1200,<B=600,<D=1200

4) Գտեք զուգահեռագծի անկյունները, եթե դրանցից երկուսի գումարը 1000 է:

<C=<B=500

<C=500=><A=1800-500=1300

<A=1300=><D=1300

Պատ.՝<A=<B=1300

1.ABCD քառանկյան AB,BC,CD և DA կողմերի վրա նշված են համապատասխանաբար M,N,P և Q կետերն այնպես ,որ AM=CP, DN=DQ, BM=DP, NC=QA: Ապացուցեք, որ ABCD-ն և MNPQ-ն զուգահեռագծեր են:

BM=PD=>AB=CD

AM=CP                    => ABCD զուգահեռագիծ է

BN=QD=>BC=AD

NC=AQ

AN+CP
NC+AQ=> եռ. AMQ=եռ. NCP=>NP=MQ
<A=<C

<B=<D

BN=QD => եռ. BMN=եռ. DPQ=>QP=MN

BM=PD

NP=MQ

=>MNPQ զուգահեռագիծ է

QP=MN

2) ABCD զուգահեռագծի BD անկյունագծի վրա P եւ Q կետերը նշված են այնպես, որ BP=QD: Ապացուցեք, որ APCQ քառանկյունը զուգահեռագիծ է:

<CBP=<DQA

BC=AD           =>եռ. BCP=եռ. ADQ=>AQ=PC
BP=QD

<ABP=<CDQ

AB=CD      => եռ. BAP=եռ. CDQ=>AP=QC

BP=QD

AQ=PC

=>APCQ զուգահեռագիծ է

AP=QC

1.Եռանկյան կողմերը հավասար են 6սմ, 8սմ, 10սմ: Գտեք այն եռանկյան պարագիծը, որի կողմերը տրված եռանկյան միջին գծերն են:

BM=AM=3սմ

BP=PC=5

AN=NC=4

MN=BC/2

MN=5

MP=AC/2

MP=4

NP=AB/2

MP=3

PMNP=12սմ